અતિવલય $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{3} = 1$ માટે,અસત્ય વિધાન કયું છે?

દ્વિઘાત સમીકરણ જેના બીજ $l$ અને $m$ છે,જ્યાં $l = \lim_{\theta \rightarrow 0} \left( \frac{3 \sin \theta - 4 \sin^2 \theta}{\theta} \right)$ અને $m = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{2 \tan \theta}{\theta(1 - \tan^2 \theta)}$ છે,તે:

લંબકોણીય અતિવલય $xy = c^2$ અને પરવલય $y^2 = 4ax$ ના છેદબિંદુ પર,લંબકોણીય અતિવલય અને પરવલયના સ્પર્શકો $X$-અક્ષ સાથે અનુક્રમે $\theta$ અને $\phi$ ખૂણો બનાવે છે,તો:

ધારો કે $e_1$ અને $e_2$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{25} = 1$ અને અતિવલય $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા છે. જો $b < 5$ અને $e_1 e_2 = 1$ હોય,તો યામ અક્ષો પર અક્ષો ધરાવતા અને ચારેય નાભિઓ (બે ઉપવલયની અને બે અતિવલયની) માંથી પસાર થતા ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો:

વર્તૂળ $x^2 + y^2 - 8x = 0$ અને અતિવલય $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ બિંદુ $A$ અને $B$ આગળ છેદે છે. વર્તૂળ અને અતિવલયના ધન ઢાળ વાળા સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા એ અતિવલય $2x^2 - 2y^2 = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતાનો વ્યસ્ત છે. જો ઉપવલય અને અતિવલય એકબીજાને કાટખૂણે છેદે,તો ઉપવલયના નાભિલંબની લંબાઈનો વર્ગ $................$ છે.